LOJ2474

LOJ2474

Description

对于一颗树 $T$,定义无向简单图 $G(T)$ 中上的两点 $u,v$ 之间有边当且仅当 $T$ 中 $u,v$ 之间的路径上的所有点编号都小于 $u,v$。

有一棵树 $T$,初始时只有一个点,编号为 $1$,接下来有 $q$ 次操作,操作有以下两种:

  • $1\ u\ v$ 表示加入一个编号为 $v$ 的节点并与当前编号为 $u$ 的节点相连(保证任何时刻不会有两个编号相同的节点);
  • $2\ u\ v$ 表示查询 $G(T)$ 中点 $u$ 到 $v$ 的最短路(每条边长度均为 $1$ )。

请你回答所有查询。

Input

第一行两个整数 $n,q$,表示编号的最大可能值及询问个数。

接下来 $q$ 行每行三个整数 $op u v$,以题目描述中的格式描述一次操作。

Output

依次对于每一个 类型的操作,输出一行一个整数表示其对应的答案。

Sample Input

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Sample Output

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Solution

假定读者已经大致看过论文和 zx2003 的博客了

重点就是两个函数:qry(x,y)add(x,y)

qry(x,y)

只需要分别找 $x,y$ 到 LCA(或其祖先) 的最小步数和最后一步之前(即跳”最小步数 $-1$ “步)的位置,再判断 $x,y$ 能否一步到 $z$ 即可

即实现一个 query(x,z) 函数返回 pair(step,point)

先求跳的步数,发现就是 C 中 $x$ 到 $z$ 或其祖先的路径上(不包括最后的 $z$ 或其祖先)点权之和 $+1$ ;
特殊的,如果在跳到 $z$ (及其祖先)之前最上面的点权为 $1$ ,则不用 $+1$ ,相当于已经算过跳上去这一步的贡献

query.png

再求跳了最小步数 $-1$ 能跳到哪里,不难发现是跳到 $z$ (及其祖先)之前最上面的那一个 “1” 的前驱(如果 “1” 恰好是 $z$ (及其祖先)之前最上面的一个则忽略这个 “1” ,用第二个 “1” 来找前驱)

求 $x$ 能否一步到 $z$ 即判断在 C 上 $z$ 是否能到达 $x$,即 $z$ 向其含有 $x$ 的子树内连的一条链的链底是否是 $x$ 的子孙。

易得 $z$ 连的链底就是 $x$ 到 $z$ 路径上离 $z$ 最近的点,然后就可以 check

add(x,y)

先判掉 $x>y$ 的情况,这时直接 C 中连一下且 F 中 $fa(y)=x$

否则 $x<y$,$y$ 会插入成 $x$ 的祖先。C 中 $y$ 会向 $x$ 及其祖先连边直到 $y$ 本身

$x$ 到 $y$ 在 C 中形成的链的一部分后缀的点的 F 中的 fa 会改为 $y$

需要把这条链上的点权都变成 $0$

同时可能会影响某些点权为 $0$ 的点,需要把它们点权变为 $1$ 并把他们 LCT 上的父亲改为指向它们的 F (具体见最后一部分)

特别注意这里的 access 每次不是跳 F 中的 fa 而是 C 中的 fa !!!

(因为 C 中的 fa 不一定是 F 中的 fa,当点权为 $1$ 时相当于跳了一大段 C 中的祖先)

然后把跳到 $y$ 的链上的点的点权全变成 $0$,链顶点权设为 $1$ 并接在 $y$ 上

至于 $y$ 在 C 及 F 上的父亲,可以发现和之前在 $y$ 位置上的点( $x$ 祖先中最大的编号小于 $y$ 的点)相同。

关于 0 变 1 的处理

  • 一种是从定义上,可以发现是 $u$ 到其在 C 中的父亲所夹的连通块中的最大值,可以通过求连通块任意一点一直跳 fa 直到 $u$ 之前的最后一点得到

  • 一种是考虑特殊处理 LCT 上的链,若能保证每个链头点权都为 $1$ 那么直接找 u 在 LCT 上的后继即可;(但这种 access 要多写一堆东西防止断边出现链头 $0$ ……)

    • add 函数中特殊情况新建的链头以及 access 时断开的链的链头都会变 1;
    • query 函数中 access 提取一条链时可能会断开一个链使得 $0$ 作为链头,这时可以直接强行将其点权变为 $1$,即强行让其指向它 F 中的父亲

Code

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#include<bits/stdc++.h>
#define FIO "L2474"
#define ll long long
#define pii std::pair<int,int>
//#define DEBUG

const int N=1e5+5,Q=5e5+5,lgN=18;

using namespace std;
int premax,vis[N];

int n,q,op[Q],u[Q],v[Q];

struct Graph{
int h[N],to[N<<1],nxt[N<<1],ecnt;
int fa[N];
int dfn[N],sz[N],cnt;
inline void adde(int u,int v){nxt[++ecnt]=h[u];h[u]=ecnt;to[ecnt]=v;}
inline void add(int u,int v){adde(u,v);adde(v,u);}
}T,C;

struct DSU{
int f[N];
inline void init(){
for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=i;
}
inline int find(int x){
while(x^f[x])x=f[x]=f[f[x]];
return x;
}
inline void merge(int x,int y){
if((x=find(x))==(y=find(y)))return;
C.add(x,y);
f[x]=y;
}
}U;

int mx[N<<1][lgN],lg[N<<1];
int dcnt,id[N];
set<int>s[N];
int top[N],mxs[N],cfa[N];

inline void dfsC(int u,int fa=0){
C.dfn[u]=++C.cnt;
C.sz[u]=1;
mx[id[u]=++dcnt][0]=u;

for(int i=C.h[u],v;i;i=C.nxt[i])if((v=C.to[i])^fa){
cfa[v]=u;
dfsC(v,u);
if(C.sz[v]>C.sz[mxs[u]])mxs[u]=v;
C.sz[u]+=C.sz[v];
mx[++dcnt][0]=u;
}
}

inline void dfs2(int u,int tp){
top[u]=tp;
if(mxs[u])dfs2(mxs[u],tp);
for(int i=C.h[u],v;i;i=C.nxt[i])if((v=C.to[i])^cfa[u]&&v^mxs[u])
dfs2(v,v);
}

std::vector<int>son[N];

inline int cmp(const int &x,const int &y){
return T.dfn[x]<T.dfn[y];
}

inline void dfsT(int u,int fa=0){
T.dfn[u]=++T.cnt;
T.sz[u]=1;

for(int i=T.h[u],v;i;i=T.nxt[i])if((v=T.to[i])^fa){
T.fa[v]=u;
dfsT(v,u);
T.sz[u]+=T.sz[v];
son[u].push_back(v);
}
}

inline int lca(int x,int y){
x=id[x];y=id[y];
if(x>y)std::swap(x,y);
int t=lg[y-x+1];
return std::max(mx[x][t],mx[y-(1<<t)+1][t]);
}

inline void init(){
U.init();
for(int u=1;u<=n;u++){
for(int i=T.h[u],v;i;i=T.nxt[i])if((v=T.to[i])<u){
U.merge(v,u);
}
}
for(int i=n;i;i--)if(!id[i])dfsC(i);
for(int i=n;i;i--)if(!top[i])dfs2(i,i);
for(int i=1;i<=n;i++)if(!T.dfn[i])dfsT(i);

lg[0]=-1;
for(int i=1;i<=dcnt;i++)lg[i]=lg[i>>1]+1;
for(int j=1;(1<<j)<=dcnt;j++)
for(int i=1;i+(1<<j)-1<=dcnt;i++)
mx[i][j]=std::max(mx[i][j-1],mx[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}

int ch[N][2],fa[N];
int w[N],sum[N];

#define lx ch[x][0]
#define rx ch[x][1]
#define chk(x) ((x)==ch[fa[x]][1])
#define isrt(x) (ch[fa[x]][0]!=x&&ch[fa[x]][1]!=x)

inline void pushup(int x){
sum[x]=sum[lx]+w[x]+sum[rx];
}

inline void rotate(int x){
int y=fa[x],z=fa[y],t=chk(x);
fa[ch[x][!t]]=y;
ch[y][t]=ch[x][!t];
fa[x]=z;
if(!isrt(y))ch[z][chk(y)]=x;
ch[x][!t]=y;
fa[y]=x;
pushup(y);
pushup(x);
}

/*
inline void out_lct(){
for(int i=1;i<=n;i++)if(vis[i]){
printf("%d:fa=%d ch=(%d,%d) w=%d s=%d\n",i,fa[i],ch[i][0],ch[i][1],w[i],sum[i]);
}
puts("");
}

vector<int>STA;
int tim,lst[N];

inline void dfs(int x,int tim){
if(!x)return;
lst[x]=tim;
dfs(lx,tim);
STA.push_back(x);
dfs(rx,tim);
}

inline void checkGG(){
for(int i=1;i<=n;i++)if((ch[i][0]&&i>ch[i][0])||i<ch[i][1]){
printf("GG in %d\n",i);
cout.flush();
assert(i<=ch[i][0]&&i>=ch[i][1]);
}
}

inline void out_C(){
for(int i=1;i<=n;i++)if(vis[i]){
printf("%d:C.fa=%d\n",i,C.fa[i]);
}
}
*/

inline void splay(int x){
assert(x);
for(int y=fa[x];!isrt(x);rotate(x),y=fa[x])if(!isrt(y))
rotate(chk(x)^chk(y)?x:y);
}

/*
inline void checkorder(){
tim++;
for(int i=1;i<=n;i++)if(lst[i]!=tim){
STA.clear();
splay(i);
dfs(i,tim);
for(int i=1,sz=STA.size();i<sz;i++){
if(STA[i]>STA[i-1]){
out_lct();
printf("STA=");
for(int i=0;i<sz;i++)
printf("%d ",STA[i]);
puts("");
}
cout.flush();
assert(STA[i]<=STA[i-1]);
}
}
}

*/

inline int find_fir(int x){
while(lx)x=lx;
return x;
}

inline int find_one(int x,int prefer){
if(!sum[x])assert(0);
while(x){
if(sum[ch[x][prefer]])x=ch[x][prefer];
else if(w[x])return x;
else x=ch[x][!prefer];
}
assert(0);
}

inline int find_pre(int x){
splay(x);
if(!lx)return fa[x];
x=lx;
while(rx)x=rx;
return x;
}

inline void link(int x,int y,int flag=1){
if(y)assert(x<y);
splay(x);
if(y)splay(y);

w[x]=1;
pushup(x);

if(flag&&y){

if(ch[y][1]){
int tmp=find_fir(ch[y][1]);

fa[ch[y][1]]=0;
splay(tmp);
ch[y][1]=0;
if(!w[tmp]){

link(tmp,find_pre(find_one(y,1)),0);

}
}

ch[y][1]=x;
pushup(y);
}

fa[x]=y;

}

inline int upper_floor(int x,int z){
int ret=x;
while(x){
if(x<z){
ret=x;
x=lx;
}else x=rx;
}
return ret;
}

inline pii query(int x,int z){
if(x==z)return pii(0,x);
pii ret;
ret.second=x;

int y=0;
while(x){
splay(x);

if(rx){

int w=rx;
rx=0;
w=find_fir(w);

pushup(x);
if(!::w[w]){
splay(w);
fa[w]=0;
int tt=find_pre(find_one(x,1));
link(w,tt,0);
}

splay(x);
}
rx=y;
pushup(x);

if(!(fa[x]&&fa[x]<z))break;
y=x;
x=fa[x];
}

//printf("x=%d lower=%d\n",x,upper_floor(x,z));
splay(x);

x=upper_floor(x,z);
splay(x);
ret.first=sum[rx]+1;
if(sum[rx])
ret.second=find_pre(find_one(rx,0));
return ret;
}

inline bool in(int *dfn,int *sz,int x,int y){
return dfn[y]<=dfn[x]&&dfn[x]<dfn[y]+sz[y];
}

inline int get_down(int x,int y){
if(!in(T.dfn,T.sz,y,x))return T.fa[x];
assert(x^y);
int z=*--upper_bound(son[x].begin(),son[x].end(),y,cmp);
return z;
}

inline bool check(int x,int y){
if(x==y)return 1;
cout.flush();
int z=get_down(y,x);
return in(C.dfn,C.sz,z,x);
}

inline int qry(int x,int y){
//printf("------------\nqry %d %d\n",x,y);
int z=lca(x,y);
pii a=query(x,z),b=query(y,z);


#ifdef DEBUG
printf("a=(%d,%d)\n",a.first,a.second);
printf("b=(%d,%d)\n",b.first,b.second);
printf("lca=%d\n",z);
#endif

return a.first+b.first+!(check(a.second,z)&&check(b.second,z));
}


inline int access(int x){
int y=0;
while(x){
splay(x);

if(rx){
int w=rx;
rx=0;
pushup(x);
w=find_fir(w);
if(!::w[w]){
splay(w);
fa[w]=0;
int tt=find_pre(find_one(x,1));
link(w,tt,0);
}
splay(x);
}
rx=y;
pushup(x);

if(!fa[x]||sum[x])break;

y=x;
x=fa[x];
}

if(sum[x])
return find_one(x,1);
else return find_fir(x);
}

inline int getson(int x,int y){
int ret=x;
assert(x);

while(top[x]^top[y]){
if(s[top[x]].size())
ret=*s[top[x]].rbegin();
x=cfa[top[x]];
}
set<int>::iterator it=s[top[x]].lower_bound(y);
if(it!=s[top[x]].begin()){
ret=*--it;
}

/*
while(C.fa[x]&&C.fa[x]<y){
x=C.fa[x];
if(vis[x])ret=x;
}
*/

return ret;
}

inline void add(int x,int y){
if(x>y){
link(y,x,0);
C.fa[y]=x;
s[top[y]].insert(y);
return;
}

int z=getson(x,y);
s[top[y]].insert(y);

std::vector<int>v;
int lstx=0;

while(x){
v.push_back(x);
x=access(x);
int z=find_pre(x);
if(z>y){
v.pop_back();
break;
}
splay(x);

lstx=x;
fa[lx]=fa[x];
w[x]=fa[x]=lx=0;
pushup(x);
x=C.fa[x];
}

#ifdef DEBUG
printf("v={"); for(int i=0,szv=v.size();i<szv;i++)printf("%d,",v[i]); puts("}");
#endif

for(int i=0,szv=v.size();i<szv-1;i++){
splay(v[i]);
splay(v[i+1]);
assert(!ch[v[i+1]][1]);
ch[v[i+1]][1]=v[i];
fa[v[i]]=v[i+1];
pushup(v[i+1]);
}


if(v.size())
link(lstx,y,0);
/*
* !!!
the same as
{
splay(v.back());
link(find_fir(v.back()),y,0);
}
*/

C.fa[y]=C.fa[z];
C.fa[z]=y;

if(!C.fa[y]){
return;
}

splay(z);

//printf("Before add y to tree:(son=%d)\n",x); out_lct();

ch[y][0]=ch[z][0];
if(ch[z][0])fa[ch[z][0]]=y;
ch[z][0]=y;
fa[y]=z;
w[y]=w[z];
w[z]=0;
pushup(y);
pushup(z);

}

int main(){
scanf("%d%d",&n,&q);
for(int i=1;i<=q;i++){
scanf("%d%d%d",&op[i],&u[i],&v[i]);
if(op[i]==1){
T.add(u[i],v[i]);
}
}

vis[1]=1;

init();

for(int i=1;i<=q;i++){
if(op[i]==1){
premax=max(premax,v[i]);
vis[v[i]]=1;
add(u[i],v[i]);
}else
printf("%d\n",qry(u[i],v[i]));
#ifdef DEBUG
//out_lct(); out_C(); puts("===========");
#endif
}

return 0;
}