线性代数与空间解析几何 第二章 行列式

第二章 行列式

2.1 行列式的定义

一、矩阵的概念

(一)矩阵概念的引入

定义 由四个数排成二行二列的数表 则表达式 称为数表所确定的二阶行列式,并记作

(二)三阶行列式

定义 设有 个数排成三行三列的数表

(1)沙落法
(2)对角线法则

说明

  1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式
  2. 三阶行列式包括 项,每一项的数位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负

二、 阶行列式的定义

分别为 的代数余子式(不含 -1 的幂的称为余子式)

定义 定义 阶矩阵 的行列式

  1. 时,;
  2. 时, 其中 为划去 的第一行第 列后所得的 阶行列式, 称为 的代数余子式,记号

例,计算斜下三角行列式

2.2 行列式的性质与计算

一、行列式的性质

性质1

行列式按任意行展开,其值相等,即 其中 为划去 的第 行第 列后所得到的 阶行列式, 称为 的代数余子式

性质2

阶行列式某两行对应元全相等,则行列式为零,即当 时,

证(归纳法)

结论对二阶行列式显然

设结论对 阶行列式成立,对于 阶:按第 行展开

由于 阶行列式且其中有两行元全相等,所以

性质3

$$

$$

性质4(行列式的初等变换)

若把行初等变换施于 阶矩阵

  1. 的某一行乘以数 得到 ,则

  2. 的某一行乘以数 加到另一行得到 ,则

  3. 交换 的第 行和第 行得到 ,则

推论 若行列式某两行对应元成比例,则行列式为零

应用

  1. 阶矩阵,则

  2. 初等矩阵的行列式

  3. 初等矩阵与任一方阵 乘积的行列式 对任一初等矩阵

    为初等矩阵,则

例5

奇数阶反对称矩阵行列式必为

为奇数时

二、行列式的计算

已知

范德蒙德行列式

$$

$$

三、方阵乘积的行列式

定理1

方阵 可逆的充要条件为

定理2

阶方阵,则

推论1

阶矩阵,则

推论2

阶矩阵,且 (或 ),则

应用

求证

证:

2.3 拉普拉斯展开

一、行列式按行(列)展开

阶子式

矩阵 中任取 列的交点处 个原按照原来的相对位置组成的 阶行列式 称为 的一个 阶子式

的余子式

中划去 所在的 列,余下的元按照原来的相对位置组成的 阶行列式 称为 的余子式

定理

行列式等于它的任一行(列)各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即 推论

行列式任一行(列)与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于 ,即