线性代数与空间解析几何 第三章 几何空间

第三章 几何空间

3.1 空间直角坐标系与向量

一、空间直角坐标系

三个坐标轴的正方向符合右手系

二、向量

(一)向量的概念

(二)向量的线性运算

  1. 向量的分量

  2. 向量的线性运算

  3. 线性运算满足的运算规律

  4. 基向量与线性表出

(三)向量在轴上的投影

  1. 空间两向量的夹角的概念 特殊地,当两个向量中有一个零向量,规定它们的夹角可在 中任意取值
  2. 空间一点在轴上的投影
  3. 向量在轴上的投影

向量在轴上的投影的性质

  1. 向量 在轴 上的投影等于向量的模乘以轴与向量夹角的余弦

  2. 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和

(四)线性运算的几何意义

  1. 平行四边形法则

  2. 伸缩变换

(五)方向角与方向余弦

非零向量 与三条坐标轴的夹角称为方向角

称为向量 的方向余弦

3.2 向量的乘法

一、内积

定义 设向量 称为 的内积(或数量积)

记为

由定义可知,基向量 的内积为

向量内积的另一种描述

内积的物理意义:力所做的功

二、外积

定义 向量 的外积 是一个向量

  1. 所确定的平面垂直,且 符合右手系

外积的性质

外积的几何意义

基向量的外积

利用坐标计算外积

三、混合积

定义 设已知三个向量 数量 称为这三个向量的混合积,记为 $$

$$

混合积的几何意义与性质

  1. 向量的混合积 是这样的一个数,它的绝对值表示以向量 为棱的平行六面体的体积
  2. 三向量 共面

3.3 平面

一、点法式方程

平面 可由 上任意一点和垂直于 的任一向量完全确定,垂直于 的任一向量称为 法线向量

法线向量的特征:垂直于平面内任一向量

位平面 上任一点

必有 称为平面的点法式方程

其中法向量 ,已知点

二、一般式方程

由平面的点法式方程 称为平面的一般方程

法向量

平面一般方程的几种特殊情况

  1. ,平面通过坐标远点
  2. ,平面平行于 坐标面

三、截距式方程

例:设平面与 分别交于 ,求此平面方程

解:设平面为

四、平面与平面的位置关系

两平面的夹角

定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角(通常取锐角)

例:点 到平面 的距离

解:

点到平面距离公式

3.4 空间直线

一、点向式方程

方向向量的定义

如果一非零向量 平行与一条已知直线 ,向量 称为直线 方向向量 称为直线的点向式方程

称为直线的一组方向数

二、参数式方程

由点向式方程可得

称为直线 的参数式方程, 称为参数

直线的两点式方程

例:

说明:

  1. ,即 在平面

三、一般式方程

空间直线可看成两平面的交线 称为空间直线的一般式方程

例:确定直线 外一点 的距离

是直线 上任意一确定的点, 上另一点,且

则直线 的方程为

平行四边形面积

四、直线与直线的位置关系

  1. 两直线的夹角

    两直线 方向向量 的夹角(通常指锐角)称为 的夹角,记为

    直线

    直线

  1. 两直线的位置关系

    直线

    直线

    它们的方向向量为 设点 在直线 上,点 在直线 上,则有