线性代数与空间解析几何 第一章 矩阵及其初等变换

第一章 矩阵及其初等变换

1.1 矩阵及其运算

一、矩阵的概念

(一)矩阵概念的引入

#### (二)矩阵的定义

个数排成的 列的数表称为 列的矩阵,简称为 矩阵,其中 表示第 行第 列元素

简记为

元素为实数称为实矩阵,元素是复数的称为复矩阵

(三)几种特殊矩阵

(1)n阶方阵

行数与列数都等于 的矩阵 ,称为 阶方阵,记作 (主对角线为左上到右下,次对角线为右上到左下)

(2)行矩阵,列矩阵

只有一行的矩阵称为行矩阵(行向量),只有一列的矩阵称为列矩阵(列向量)

(3)零矩阵

元素全为零, 零矩阵记作

(4)对角矩阵

的元 ,且 时, 不全为零

称为对角元,记作

(5)单位矩阵

方阵

也可记作

(6)三角矩阵

形如 的方阵,称为上三角矩阵

时,

形如 的方阵,称为下三角矩阵

时,

二、矩阵的线性运算

(一)同型矩阵与矩阵相等的概念

  1. 行列都相等称为同型

  2. 同型且对应元相等称矩阵相等

(二)矩阵的加法

同型的矩阵

负矩阵

同型的矩阵

矩阵加法的运算规律

(三)矩阵的数乘

数乘的运算规律

三、矩阵的乘法

矩阵 矩阵 则由元

Misplaced & c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{im}b_{mj}=&\sum_{x=1}^ma_{ix}b_{xj}\\&(i=1,2,\cdots,n;j=1,2,\cdots,k)

构成的 矩阵 ,称为矩阵 的乘积,记为

例:设

矩阵乘法的运算规律

矩阵的可交换

对于两个 阶方阵 ,若 ,则称 可交换的

只有 可交换时,下列公式才成立

一般来说

(即矩阵乘法不适合消去律)

但是

方阵的幂

阶方阵, 为正整数

注意 一般,

时,,但其逆不真

反例

方阵的多项式

的多项式, 阶方阵,则 称为 次多项式

设有多项式 阶方阵,则

但是,一般

四、矩阵的转置

的转置

对称矩阵

反对称矩阵

为两个 阶对称矩阵,则 对称的充要条件为 可交换

阶反对称, 阶对称,则 阶反对称

1.2 高斯消元法与高斯-若尔当消元法

一、线性变换的概念

个变量 个变量 之间的关系式 称为从变量 到变量 的线性变换

若记 则上述线性变换的矩阵形式为

在平面直角坐标系中,线性变换 是将点 逆时针旋转 角得到新点 的旋转变换

若记

则方程组可用矩阵和向量表示为

系数矩阵为 ,增广矩阵为

齐次方程组

非齐次方程组 中至少有一分量不为零